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Détails sur la convergence instationnaire d'un algorithme de navigation magneto-inertielle

Résumé : On reprend ici les notations usuelles de la navigation magnéto-inertielle (MINAV, c.f. Dorveaux, E. Navigation magnéto-inertielle : principes et application a un syst eme po-dométrique indoor, Th ese MINES ParisTech, 2011). On note X le vecteur d'´ etat comprenant le champ magnétique perçu B (estimé), et la vitesse V (dans le référentiel engin ou porteur) estimée. On note Ω le vecteur rotation entre le référentiel porteur et le référentiel inertiel initial. On note J la Jacobienne du champ magnétique perçu lors du déplacement. Les grandeurs surmontées d'uñ sont les variable d'erreur entre les valeurs estimées et les vraies grandeurs. Demanì ere générale , avec deux gains l 1 et l 2 choisis pour faire converger l'observateur, on a les equations suivantes régissant les variables d'erreurs. ˙ ˜ X = −Ω(t) − l 1 J(t)J(t) T J(t) −l 2 J(t) T −Ω(t) ˜ X = ˜ A(t) ˜ X Naturellement, la matrice définie ci-dessus A dépend du temps. Pour analyser la convergence de l'observateur, on introduit une fonction de Lyapounov candidate W (˜ X) = 1 2 ˜ B 2 + 1 2l 2 ˜ V 2 dont la dérivée le long des trajectoires est ˙ W = −l 1 ˜ B T J(t)J(t) T ˜ B = −l 1 ˜ X T ˜ C T (t) ˜ C(t) ˜ X avec C = [J(t) T 0] Pour garantir la convergence des estimées vers les vrais valeurs il faut que le syst eme linéaire instationnaire précédent converge vers 0. Or, ceci n'est pas automatiquement garanti par la simple négativité de la dérivée de ˙ W. Comme cela est connu (voir par exemple Khalil, " Nonlinear systems " , MacMillan 1992 page 326-325), une hypoth ese supplémentaire est requise. Pour utiliser l'esprit du principe d'invariance de LaSalle, il faut que l'ensemble o` u la dérivée de la fonction de Lyapounov candidate est nulle soit caractérisé par une condition d'observabilité uniforme. Avec les notations précédentes , il importe que la paire (˜ A(t), ˜ C(t)) soit uniformément observable. Cette notion etend la notion usuelle d'observabilité dans le cas instationnaire (cad lorsque les matrices dépendent du temps). Si cette condition est garantie, alors on peut conclure. C'est une condition suffisante.
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https://hal-mines-paristech.archives-ouvertes.fr/hal-01220581
Contributor : François Chaplais <>
Submitted on : Thursday, November 19, 2015 - 12:30:40 AM
Last modification on : Wednesday, October 14, 2020 - 3:52:36 AM
Long-term archiving on: : Friday, April 28, 2017 - 8:02:55 AM

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Citation

Nicolas Petit. Détails sur la convergence instationnaire d'un algorithme de navigation magneto-inertielle. [Rapport de recherche] Centre Automatique et Systèmes MINES ParisTech. 2015. ⟨hal-01220581⟩

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